■ヒルベルトと非ユークリッド幾何学
（
津田塾大学数学・計算機科学研究所報32，第21回数学史シンポジウム(2010)，2011年，264-271頁）
【目次】
１．はじめに
２．非ユークリッド幾何学
３．ヒルベルトによる形式主義
４．無矛盾性の証明
５．ワイルの批判
６．ゲーデルの不完全性定理
７．公理の独立性
８．ゲンツェンによる無矛盾性の証明
９．終わりに
参考文献
要約
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○関連書籍・CDの紹介
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ヒルベルト 幾何学の基礎 クライン エルランゲン・プログラム (現代数学の系譜 7)
【５．ワイルの批判】（p.349）．ある時期，数学基礎論には三つの考え方があった．現今ではヒルベルトの考え方が支配的であることは，数学者誰もが認めるところであろう．このことは，ヒルベ
ルトの主張どおりに彼の考え方が最も妥当なものであるということの証拠には必ずしもならないけれども，少なくとも現代数学の構成を考えるには，彼の考え方の核
心にふれる必要があることは確かであろう．
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幾何学基礎論 (ちくま学芸文庫)
『幾何学基礎論』第2章§9においてヒルベルトは実数を用いてデカルト幾何学を作り，これによって幾何学公理から導きうる矛盾ありとすれば，それが実数系の
算術における矛盾として認識されねばならぬことを示した．すなわち幾何学公理の無矛盾性の問題は実数の公理系の無矛盾性の問題に転嫁されたのである．しかし，
問題は依然として残っている．いかにして実数系の算術の公理化が可能であるか．いかにしてその無矛盾性が証明されるか．
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数学10大論争
十九世紀にカントルが現れ，意図せずしてこの世紀末から二十世紀に引き継がれる「自由数学」の展開と「数学の確実性」の崩壊への道を拓く．現代数学は十九世
紀の大いなる数学的な成果の上に，とても全体を俯瞰することなど不可能なほどまでに発展を遂げ，「数学の不確実性」さえもが数学化されていった．
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